Gli infiniti non sono tutti uguali

Un infinito può essere più grande di un altro?

Se i numeri positivi non finiscono e neppure i numeri pari finiscono, sembrerebbe inutile domandare quale insieme sia più grande. Entrambi continuano senza un ultimo elemento. La sorpresa della teoria degli insiemi è che questa osservazione non esaurisce il confronto. «Non finire» descrive una proprietà comune; non stabilisce che tutte le collezioni infinite abbiano la stessa quantità di elementi.

Per capire la differenza serve una regola di confronto. La chiamiamo cardinalità: due insiemi hanno la stessa cardinalità se possiamo abbinare ogni elemento del primo a uno e uno solo del secondo, senza lasciare elementi esclusi da nessuna parte. Questa corrispondenza è detta biunivoca, o biezione. Non richiede di arrivare all’ultimo elemento: richiede una regola che funzioni per tutti.

Nell’esempio interattivo qui sotto, ogni intero positivo incontra il proprio doppio. Il cursore mostra solo un numero finito di coppie. La dimostrazione, invece, riguarda la regola generale: qualunque intero positivo scegliamo, il suo doppio esiste; qualunque pari positivo scegliamo, la sua metà è un intero positivo.

Perché i pari bastano per tutti

Consideriamo la regola n → 2n. A 1 corrisponde 2, a 2 corrisponde 4, a 3 corrisponde 6, e così via. Due numeri diversi non possono avere lo stesso doppio, quindi gli abbinamenti non si sovrappongono. Inoltre ogni pari positivo è il doppio di un intero positivo, quindi nessun pari resta fuori. Abbiamo costruito esattamente la corrispondenza necessaria.

I pari sono un sottoinsieme proprio degli interi positivi: i dispari mancano. Eppure i due insiemi hanno la stessa cardinalità. Non abbiamo dimostrato che togliere elementi lasci sempre invariata una quantità. Abbiamo dimostrato una proprietà di queste particolari collezioni infinite, usando un criterio preciso. Per gli insiemi finiti, un sottoinsieme proprio ha sempre meno elementi; qui quell’intuizione non si estende.

La frase «i pari sono la metà» conserva un senso se guardiamo i primi cento numeri, fra cui cinquanta sono pari. Parla della distribuzione in un tratto finito. La cardinalità affronta un’altra domanda: possiamo abbinare gli elementi degli insiemi interi? Lo stupore nasce quando usiamo una risposta valida per una domanda come se rispondesse anche all’altra.

Abbinamenti 1 con 2, 2 con 4, fino alla regola generale n con 2n — La regola n → 2n abbina tutti gli interi positivi a tutti i pari positivi. Figura matematica originale della redazione.

Mettere in fila anche i numeri negativi

Un insieme infinito che può essere disposto in una lista con posizioni 1, 2, 3 e così via è detto numerabile. La lista deve includere ogni elemento a una posizione finita, senza ripetizioni. Non occorre completarla nel tempo: l’affermazione è matematica, non una richiesta di scrivere materialmente tutte le righe.

Gli interi, comprendendo zero e negativi, si possono ordinare così: 0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, e così via. Ogni intero compare. Per esempio, 7 arriva alla quattordicesima posizione e −7 alla quindicesima. La presenza dei numeri negativi non rende questa collezione più grande degli interi positivi nel senso della cardinalità.

Un errore sarebbe cercare prima di elencare tutti i positivi e poi i negativi. Non esiste una posizione «dopo tutti i positivi». La disposizione alternata risolve proprio questo problema: non aspetta che una parte infinita finisca prima di cominciare l’altra.

Fra due frazioni ce ne sono altre, ma una lista esiste

Le frazioni sembrano più difficili. Fra 1 e 2 troviamo 3/2; fra 1 e 3/2 troviamo 5/4, e possiamo continuare. I razionali sono densi: fra due razionali distinti ne esiste sempre un altro. Tuttavia sono ancora numerabili. Densità e cardinalità descrivono proprietà diverse.

Per i razionali positivi possiamo organizzare le frazioni p/q in una griglia: numeratore p e denominatore q sono interi positivi. Invece di percorrere un’intera riga infinita, attraversiamo le diagonali con somma p + q costante. Prima 1/1; poi 1/2 e 2/1; poi 1/3, 2/2 e 3/1. Ogni frazione arriva dopo un numero finito di passaggi, perché la somma dei suoi due indici è finita.

Restano i duplicati: 1/2 e 2/4 indicano lo stesso numero. Possiamo conservarne solo la prima comparsa, oppure includere soltanto frazioni già ridotte ai minimi termini. Inserendo zero e alternando positivi e negativi otteniamo una lista di tutti i razionali. Il risultato non significa che siano separati da spazi vuoti: essere elencabili non implica essere isolati sulla retta.

La diagonale che sfugge a ogni elenco

I numeri reali comprendono razionali e irrazionali. Supponiamo che qualcuno sostenga di poter elencare tutti i reali fra zero e uno. Scriviamo ciascuno in forma decimale e guardiamo una diagonale: la prima cifra del primo numero, la seconda del secondo, la terza del terzo, continuando nello stesso modo.

Costruiamo ora un nuovo numero. Alla posizione n mettiamo 2 se la cifra diagonale del numero n è diversa da 2; mettiamo 3 se quella cifra è 2. Il numero costruito usa dunque soltanto le cifre 2 e 3. Differisce dal primo numero nella prima cifra, dal secondo nella seconda, e in generale dal numero n nella cifra n.

Non può quindi coincidere con nessun numero della lista. Questo vale per qualunque elenco proposto, non soltanto per un elenco poco ingegnoso. La supposizione di averli compresi tutti conduce a un numero che manca: i reali fra zero e uno non sono numerabili. Abbiamo trovato un infinito di cardinalità maggiore di quello degli interi positivi.

Tabella decimale con quattro cifre diagonali evidenziate e il numero che ne differisce — La cifra n del nuovo numero differisce dalla cifra n della riga n. Sono mostrati solo i primi quattro passaggi; la regola continua. Figura originale della redazione.

Un dettaglio decimale importante

Le rappresentazioni decimali richiedono una cautela: 0,5000… e 0,4999… indicano lo stesso numero. Possiamo scegliere per i numeri della lista la rappresentazione che non termina con una coda infinita di 9. Il numero costruito con sole cifre 2 e 3 non presenta questa ambiguità. Così la differenza di una cifra garantisce la differenza fra i numeri, non soltanto fra due modi di scriverli.

La precisione non è un’aggiunta decorativa. Senza controllare un dettaglio del genere, un argomento intuitivo potrebbe nascondere un passaggio incompleto. Le dimostrazioni sono convincenti quando spiegano anche perché le eccezioni apparenti non le invalidano.

La diagonale non calcola «l’ultimo numero mancante», perché non esiste un ultimo posto. Definisce tutte le cifre attraverso una regola. Ancora una volta, il ragionamento sull’infinito non richiede di eseguire materialmente un compito senza fine.

Cantor e il significato della scoperta

Georg Cantor sviluppò nell’Ottocento la teoria degli insiemi e il confronto fra cardinalità infinite. La ricostruzione storica di MacTutor distingue la dimostrazione della non numerabilità dei reali pubblicata nel 1874 dalle elaborazioni successive. Il percorso nacque anche da problemi matematici concreti sulle serie trigonometriche: non fu soltanto una meditazione astratta sul significato della parola infinito.

Qui abbiamo seguito una spiegazione moderna, non riprodotto passo per passo il primo articolo di Cantor. La distinzione conta: una dimostrazione didatticamente efficace può essere diversa dal percorso attraverso cui un risultato venne scoperto. La storia del problema e la verifica del risultato sono entrambe interessanti, ma rispondono a domande diverse.

Sapere che esistono infiniti differenti non autorizza conclusioni sull’infinità fisica dell’universo. La matematica studia strutture e conseguenze di definizioni; una descrizione del cosmo richiede anche osservazioni. La meraviglia, in questo caso, è già nella prova: un criterio semplice come abbinare gli elementi rivela che il nostro modo quotidiano di pensare la quantità può essere ampliato con rigore.

Fonti e approfondimenti

Fonti consultate e verificate il 14 ottobre 2026. I collegamenti aprono siti esterni.

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